2026年度大学入学共通テスト「数学Ⅱ・数学B・数学C」(本試験)の全問解説です。100点満点で、平均点は54.52点(大学入試センター発表の最終集計値)でした。
試験の構成は次のとおりです。
- 第1問〜第3問:必答問題(第1問15点・第2問15点・第3問22点=計52点)
- 第4問〜第7問:選択問題(各16点。4問のうち3問を選択して解答=計48点)
選択問題の内訳は、第4問「数列」、第5問「統計的な推測」、第6問「平面ベクトル」、第7問「複素数平面」です。必答3問+選択3問の計6問で100点満点となります。
この記事では、必答・選択の全7問について、解答番号・配点つきで途中式と考え方の筋道を解説します。
※問題文は要約にとどめています。問題PDFは記事末尾のリンクからご覧ください。
第1問 円と領域(必答・配点15点)
2つの円の方程式
- ①:x² + y² − 7y + (2x − 5y + 25) = 0 (この円を C₁)
- ②:x² + y² − 7y − (2x − 5y + 25) = 0 (この円を C₂)
を素材に、円の中心・半径、2円の交点を通る直線、絶対値つき不等式の表す領域を考える問題です。
(1) C₁・C₂の中心と半径、中心間距離(アイ〜ケ・配点6点)
問題の要約:C₁の中心の座標、C₁・C₂の半径 r₁、r₂、中心間距離 d を求めます。
解き方: ①を整理すると x² + 2x + y² − 12y + 25 = 0。平方完成して
(x + 1)² + (y − 6)² = 1 + 36 − 25 = 12
よって C₁ の中心は (−1, 6)、半径 r₁ = √12 = 2√3。
②も同様に x² − 2x + y² − 2y − 25 = 0 より
(x − 1)² + (y − 1)² = 1 + 1 + 25 = 27
よって C₂ の中心は (1, 1)、半径 r₂ = √27 = 3√3。
中心間距離は d = √{(1−(−1))² + (1−6)²} = √(4 + 25) = √29。
答え:中心 (−1, 6)【アイ・ウ:2点】、r₁ = 2√3、r₂ = 3√3【エ〜キ:2点】、d = √29【クケ:2点】
つまずきポイント:①②はカッコを外してから平方完成する一手間が必要です。なお |r₁ − r₂| = √3 ≒ 1.73、r₁ + r₂ = 5√3 ≒ 8.66、d = √29 ≒ 5.39 なので「|r₁−r₂| < d < r₁+r₂」が成り立ち、2円が2点で交わることが確認できます。
(2)(i) 点がどちらの領域に属するか(コ・サ・シ 各記号まとめて配点2点)
問題の要約:不等式 2x − 5y + 25 ≧ 0 の表す領域を D、2x − 5y + 25 < 0 の表す領域を E とし、原点 O、C₁の中心、C₂の中心がそれぞれ D・E のどちらに含まれるかを答えます。
解き方:2x − 5y + 25 に各点を代入して符号を調べます。
- 原点 (0, 0):25 ≧ 0 → D
- C₁の中心 (−1, 6):−2 − 30 + 25 = −7 < 0 → E
- C₂の中心 (1, 1):2 − 5 + 25 = 22 ≧ 0 → D
答え:コ=⓪(D)、サ=①(E)、シ=⓪(D)【2点】
つまずきポイント:機械的な代入問題ですが、あとの(iii)(iv)で「各円の中心が直線のどちら側にあるか」がそのまま効いてきます。ここで図を描いて位置関係をつかんでおくと後半が速くなります。
(2)(ii) 2円の交点を通る直線(ス・配点2点)
問題の要約:直線 ℓ:2x − 5y + 25 = 0 について、①と②の両辺の差から「①かつ②を満たす点は④(=ℓ)も満たす」ことが導かれます。この論理の意味として正しい記述を選びます。
解き方:①−②を作ると 2(2x − 5y + 25) = 0、すなわち ℓ の方程式が得られます。これは「C₁ 上にあり、かつ C₂ 上にもある点 P(=2円の交点)は、必ず ℓ 上にある」ことを意味します。よって選択肢②「点Pを C₁ 上にあり、かつ C₂ 上にもある点とすると、P は ℓ 上にある」が正しいです。
答え:ス=②【2点】
つまずきポイント:⓪「ℓ 上の点は C₁ 上かつ C₂ 上にある」は逆向きの主張で誤りです。「AならばB」と「BならばA」の区別、いわゆる論理の向きを問う設問で、共通テストらしい出題です。ℓ は2円の交点を通る直線(いわゆる根軸)になります。
(2)(iii) 絶対値つき不等式の表す領域(セ・配点3点)
問題の要約:不等式③ x² + y² − 7y + |2x − 5y + 25| < 0 の表す領域を図示したものを、9つの図から選びます。③の左辺は、2x − 5y + 25 ≧ 0 のとき①の左辺、2x − 5y + 25 < 0 のとき②の左辺と一致します。
解き方:絶対値を場合分けして外します。
- 領域 D(2x − 5y + 25 ≧ 0)では ③ ⇔ ①の左辺 < 0 ⇔ C₁ の内部。この共通部分が F。
- 領域 E(2x − 5y + 25 < 0)では ③ ⇔ ②の左辺 < 0 ⇔ C₂ の内部。この共通部分が G。
ℓ は2円の共通弦を含む直線です。C₁ の内部のうち D 側(C₂ の中心がある側)は、共通弦で切り取られた C₁ の弓形で、これは C₂ の内部に含まれる部分、つまり2円の重なり(レンズ形)の半分です。同様に C₂ の内部のうち E 側はレンズ形の残り半分。よって F と G の和集合は2円の共通部分(レンズ形)になります。
答え:セ=⓪(2円の重なり部分のみ灰色の図)【3点】
つまずきポイント:「D では C₁ の内部、E では C₂ の内部」と決めた後、それぞれが直線 ℓ のどちら側かを(2)(i)の結果(C₁ の中心は E 側、C₂ の中心は D 側)から判断するのがポイントです。灰色部分が「弦で切られた側」だけになることに注意しましょう。
(2)(iv) 符号を変えた不等式の領域(ソ・配点2点)
問題の要約:絶対値の前の符号を−に変えた不等式⑤ x² + y² − 7y − |2x − 5y + 25| < 0 の表す領域を選びます。
解き方:今度は場合分けが逆になります。
- D(2x − 5y + 25 ≧ 0)では ⑤ ⇔ ②の左辺 < 0 ⇔ C₂ の内部(の D 側)
- E(2x − 5y + 25 < 0)では ⑤ ⇔ ①の左辺 < 0 ⇔ C₁ の内部(の E 側)
C₂ の内部の D 側は「C₂ の大部分+レンズ形の D 側」、C₁ の内部の E 側は「C₁ の大部分+レンズ形の E 側」。さらに、共通弦の性質から C₁ の D 側の弓形は C₂ の内部に、C₂ の E 側の弓形は C₁ の内部に含まれるため、和集合は2円の内部全体(C₁ ∪ C₂)になります。
答え:ソ=④(2円全体が灰色の図)【2点】
つまずきポイント:(iii)が「共通部分」、(iv)が「和集合」という対比になっています。境界の弓形がもう一方の円に含まれることを図で確認すると納得しやすいです。時間がなければ、テキトーな1点(たとえば C₂ の中心 (1,1))を⑤に代入して含まれるかを確かめる検算も有効です。
第2問 三角関数(必答・配点15点)
和積の公式 sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A−B)/2) …① を加法定理から導き、それを使って三角関数の和の最大値を調べる問題です。
(1) 和積の公式の導出(ア〜ウ・配点3点)
問題の要約:加法定理 sin(α+β)、sin(α−β) の展開式の共通部分(ア)を答え、②+③で①を導くときの α、β の置き換え(イ・ウ)を選びます。
解き方: 加法定理より
- sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β …②
- sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β …③
共通する第1項は sin α cos β。②+③より
sin(α+β) + sin(α−β) = 2 sin α cos β
ここで α + β = A、α − β = B とおくと α = (A+B)/2、β = (A−B)/2 となり、①が得られます。
答え:ア=①(sin α cos β)【1点】、イ=④((A+B)/2)、ウ=⑤((A−B)/2)【2点】
つまずきポイント:和積の公式は「覚える」より「その場で導ける」ことが重要です。この大問全体が①を使い回す構成なので、ここで導出の仕組みをつかんでおきましょう。
(2) f(x) = sin(x + 5π/12) + sin(x + π/12) の最大値(エ〜キ・配点4点)
問題の要約:0 ≦ x < 2π における f(x) の最大値を、①を使った変形で求めます。
解き方:①で A = x + 5π/12、B = x + π/12 とすると
- (A+B)/2 = x + π/4
- (A−B)/2 = π/6
よって f(x) = 2 sin(x + π/4) cos(π/6)。
2 cos(π/6) = √3 は正の定数なので、f(x) が最大になるのは sin(x + π/4) = 1 のとき。0 ≦ x < 2π では x + π/4 = π/2、すなわち x = π/4 のとき最大値 2 cos(π/6) × 1 = √3 をとります。
答え:エ=③(π/4)、オ=②(π/6)【2点】、カ=③(x = π/4)、キ=⑥(最大値 √3)【2点】
つまずきポイント:合成でも解けますが、誘導どおり和積を使うほうが速いです。「2 cos オ が正の定数」という記述が、最大値=係数×1 という流れのヒントになっています。
(3)(i) g(x) = sin(x+a) + sin(x+2a) + sin(x+3a) の変形(ク〜コ・配点4点)
問題の要約:3つの sin のうち2つの和に①を使うと、残り1つの定数倍になることを利用して、g(x) を p sin(x+q) の形に変形します。
解き方:両端の2つ sin(x+a) + sin(x+3a) に①を適用すると
sin(x+a) + sin(x+3a) = 2 sin(x+2a) cos a
これは残りの関数 sin(x+2a) の定数倍(2cos a 倍)です。よって
g(x) = sin(x+2a) + 2 cos a · sin(x+2a) = (2cos a + 1) sin(x + 2a)
答え:ク=①(sin(x+a) + sin(x+3a))、ケ=①(2a)【2点】、コ=④(2cos a + 1)【2点】
つまずきポイント:どの2つを組むかが最初の分かれ道です。「(A+B)/2 が残りの角と一致する組合せ」=両端の2つ、と考えれば迷いません。中央の項と組んでも残りの角は作れません。
(3)(ii) a = 5π/6 のときの最大値(サシス・セ・配点4点)
問題の要約:a = 5π/6 のとき、0 ≦ x < 2π で g(x) が最大となる x と最大値を求めます。
解き方:a = 5π/6 のとき 2cos a + 1 = 2×(−√3/2) + 1 = 1 − √3、2a = 5π/3 なので
g(x) = (1 − √3) sin(x + 5π/3)
ここで係数 1 − √3 は負です。したがって g(x) が最大になるのは sin(x + 5π/3) = −1 のとき。
x + 5π/3 = 3π/2 + 2nπ より x = −π/6 + 2nπ。0 ≦ x < 2π の範囲では x = 11π/6。
最大値は (1 − √3) × (−1) = √3 − 1。
答え😡 = 11/6 π【サシ・ス:2点】、セ=⑧(√3 − 1)【2点】
つまずきポイント:この問題の最大の罠は「係数が負になる」ことです。sin = 1 のときと即断すると x = 5π/6・最大値 1 − √3(負)としてしまいます。係数の符号を確認してから最大・最小を考える習慣をつけましょう。
第3問 微分法・積分法(必答・配点22点)
3次関数 f(x) = (1/3)x³ − 2x² + 3x + k を題材に、極値・グラフの概形・面積条件、さらに条件からグラフの形を絞り込む考察問題です。必答問題では最大の22点で、本セットの山場です。
(1)(i) 導関数と極値(ア〜オ・配点6点)
問題の要約:f′(x) を求め、極大値・極小値とそのときの x を答えます。
解き方: f′(x) = x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3)
f′(x) = 0 の解は x = 1, 3。f′ の符号は x < 1 で正、1 < x < 3 で負、x > 3 で正なので、x = 1 で極大、x = 3 で極小です。
- 極大値:f(1) = 1/3 − 2 + 3 + k = 4/3 + k
- 極小値:f(3) = 9 − 18 + 9 + k = k
答え:ア=②(x² − 4x + 3)【2点】、x = 1 で極大値 4/3 + k(イ=①、ウ=⑨)【2点】、x = 3 で極小値 k(エ=③、オ=⑤)【2点】
つまずきポイント:f(3) の計算で (1/3)×27 = 9 を落とさないこと。極小値がちょうど k になるのが後の設問の伏線です。
(1)(ii) k の値とグラフの概形(カ・キ・配点4点)
問題の要約:k = 0 のとき、k > 0 のときのグラフの概形をそれぞれ6つの図から選びます。
解き方:
- k = 0 のとき:f(0) = 0(原点を通る)、極大値 4/3 > 0、極小値 0。極小値が0なので、x = 3 でx軸に接するグラフです。→ 原点を通り、右側でx軸に接する図
- k > 0 のとき:f(0) = k > 0、極大値も極小値も正。グラフ全体が極値部分でx軸より上にあり、x軸との交点は x < 0 の1個だけです。→ y切片が正で、負の側で1回だけx軸を横切る図
答え:カ=②、キ=⓪【各2点】
つまずきポイント:「極小値の符号」でx軸との交点の個数が決まります。k = 0 なら接する、k > 0 なら交点1個。y切片 f(0) = k の符号も決め手になります。
(1)(iii) 面積条件から k を決定(ク〜ソ・配点6点)
問題の要約:α = 1(極大の x)とし、f(0) < 0 < f(1) となる k の範囲を求めます(ク・ケ)。さらに 0 ≦ x ≦ α で f(x) = 0 となる x を β とし、「0 ≦ x ≦ β の(x軸より下の)部分の面積と、β ≦ x ≦ α の(x軸より上の)部分の面積が等しい」条件から k を求めます(コ〜セソ)。
解き方: f(0) = k < 0 かつ f(1) = 4/3 + k > 0 より
−4/3 < k < 0
面積の等式について:0 ≦ x ≦ β では f(x) ≦ 0、β ≦ x ≦ 1 では f(x) ≧ 0 なので、
(下側の面積)= ∫₀^β {−f(x)} dx、(上側の面積)= ∫_β^1 f(x) dx
両者が等しいとき、移項して
∫₀^β f(x) dx + ∫_β^1 f(x) dx = ∫₀^1 f(x) dx = 0
つまり「∫₀^α f(x) dx = 0」が成り立ちます。計算すると
∫₀^1 ((1/3)x³ − 2x² + 3x + k) dx = 1/12 − 2/3 + 3/2 + k = 11/12 + k
これが0になるので k = −11/12。(−4/3 < −11/12 < 0 なので範囲にも収まっています。)
答え:ク=⑧(−4/3)、ケ=⓪(0)【2点】、コ=①(∫₀^α f(x)dx = 0)【2点】、k = −11/12【サシス・セソ:2点】
つまずきポイント:「2つの面積が等しい ⇔ 定積分がまるごと0」という言い換えは頻出の定石です。符号つき面積(下側は積分値が負)の意味を理解していれば、選択肢コで∫₀^β f dx = 0 などを選ぶミスを防げます。
(2) 条件からグラフの概形を絞り込む(タ〜ナ・配点6点)
問題の要約:3次関数 g(x) について、次の条件を満たすグラフを8つの図(⓪〜⑦)から選びます。
- 条件(a):g(0) = 0 かつ g′(0) > 0 → 満たすもの3つ(タ・チ・ツ)
- 条件(a)+(b):y = g′(x) のグラフが直線 x = 0 を軸とする放物線 → 満たすもの2つ(テ・ト)
- 条件(a)+(b)+(c):y = g′(x) が下に凸の放物線 → 満たすもの1つ(ナ)
解き方: 条件(a)は「原点を通り、原点で接線の傾きが正(=原点付近で増加しながら通過)」。8つの図のうち、原点を通って右上がりに横切るものは①・②・④の3つです。
条件(b):g′(x) が x = 0 を軸とする放物線 ⇔ g′(x) が偶関数 ⇔ g(x) に x² の項がない ⇔ 変曲点が y 軸上にあるということです。①(原点対称な形で、極小・極大が原点をはさんで対称)と④(原点を変曲点とするS字型)が該当します。②は極値が2つとも x < 0 側にあり、変曲点が y 軸上にないので外れます。
条件(c):g′(x) が下に凸 ⇔ x³ の係数が正 ⇔ 右上がりの3次曲線。①は左上から右下へ向かう形(係数負)なので外れ、④だけが残ります。
答え:タチツ=①・②・④(順不同)【2点】、テト=①・④(順不同)【2点】、ナ=④【2点】
つまずきポイント:「g′ が x = 0 を軸とする放物線」を「変曲点が y 軸上」と翻訳できるかが勝負です。g(x) = px³ + qx² + rx + s なら g′(x) = 3px² + 2qx + r で、軸が x = 0 ⇔ q = 0。グラフの言葉に直すと変曲点(点対称の中心)が y 軸上、となります。
第4問 数列〈選択問題〉(配点16点)
階差数列の定義 bₙ = aₙ₊₁ − aₙ から出発し、「和を求めたい数列を階差数列にもつ数列を見つける」という発想の転換で (1次式)×2ⁿ 型の和を求める問題です。誘導が丁寧なので、流れに乗れれば完答も狙えます。
(1)(i) 具体値の計算(ア〜オ・配点4点)
問題の要約:a₁ = 1、階差数列が bₙ = 4n − 1 のとき、b₁、a₂、b₂、a₃ を求めます。
解き方:
- b₁ = 4×1 − 1 = 3、よって a₂ = a₁ + b₁ = 1 + 3 = 4
- b₂ = 4×2 − 1 = 7、よって a₃ = a₂ + b₂ = 4 + 7 = 11
答え:ア=3、イ=4【2点】、ウ=7、エオ=11【2点】
つまずきポイント:確実に取りたいサービス問題です。bₙ = aₙ₊₁ − aₙ の定義に忠実に足していくだけです。
(1)(ii) 一般項(カ〜ケ・配点3点)
問題の要約:n ≧ 2 のとき aₙ = a₁ + Σ(k=1〜カ) bₖ の「カ」を選び、一般項 aₙ を求めます。
解き方:階差数列の公式で和の上端は n − 1 です。
aₙ = 1 + Σ(k=1〜n−1) (4k − 1) = 1 + 4 × (n−1)n/2 − (n−1) = 1 + 2n(n−1) − (n−1)
= 2n² − 3n + 2
(n = 1 でも 2 − 3 + 2 = 1 = a₁ となり成立。)
答え:カ=⓪(n−1)【1点】、aₙ = 2n² − 3n + 2(キ=2、ク=3、ケ=2)【2点】
つまずきポイント:Σ の上端を n にしてしまうのが定番ミス。検算として n = 2 を代入し、a₂ = 8 − 6 + 2 = 4 と(i)の結果が合うことを確認しましょう。
(2) 発想の転換:(2n+1)·2ⁿ の和(コ〜タ・配点7点)
問題の要約:「数列 {dₙ} の和を求めたいときは、階差数列が {dₙ} になる数列 {cₙ} を見つければよい」という発想で、dₙ = (2n+1)·2ⁿ の和を求めます。cₙ = (pn + q)·2ⁿ とおいて p、q を定め、Σ(k=1〜n) dₖ を計算します。
解き方: cₙ₊₁ − cₙ を計算します。
cₙ₊₁ − cₙ = {p(n+1) + q}·2ⁿ⁺¹ − (pn + q)·2ⁿ = 2ⁿ {2(pn + p + q) − (pn + q)} = {pn + (2p + q)}·2ⁿ
これが (2n + 1)·2ⁿ と一致するので、係数比較して p = 2、2p + q = 1 より q = −3。
よって cₙ = (2n − 3)·2ⁿ が階差数列 {dₙ} をもつ数列であり、
Σ(k=1〜n) dₖ = cₙ₊₁ − c₁ = {2(n+1) − 3}·2ⁿ⁺¹ − (2 − 3)·2 = (2n − 1)·2ⁿ⁺¹ + 2
答え:コ=⓪(p)、サ=⑤(2p + q)【2点】、p = 2、q = −3(シ=2、スセ=−3)【1点】、ソ=③(2n − 1)、タ=2【2点】
つまずきポイント:これは「(等差)×(等比)の和」を、通常の「S − 2S 方式」ではなく望遠鏡和(差の形にたたむ)で求める誘導です。Σ dₖ = Σ (cₖ₊₁ − cₖ) = cₙ₊₁ − c₁ と、間が全部打ち消し合うことを理解すると一気に見通しがよくなります。c₁ の代入ミス(c₁ = −2)に注意。
(3) 応用:(n² − n − 1)·2ⁿ の和(チ・ツ・配点4点)
問題の要約:同じ発想で dₙ = (n² − n − 1)·2ⁿ の和を Σ(k=1〜n) dₖ = (チ)·2ⁿ⁺¹ − ツ の形で求めます。
解き方:今度は cₙ = (n² + sn + t)·2ⁿ とおきます(2次式×2ⁿ)。
cₙ₊₁ − cₙ = {(n+1)² + s(n+1) + t}·2ⁿ⁺¹ − (n² + sn + t)·2ⁿ = 2ⁿ {2(n² + 2n + 1 + sn + s + t) − n² − sn − t} = 2ⁿ {n² + (s + 4)n + (2s + t + 2)}
これが n² − n − 1 と一致するので
- s + 4 = −1 → s = −5
- 2s + t + 2 = −1 → t = 7
よって cₙ = (n² − 5n + 7)·2ⁿ。求める和は
Σ(k=1〜n) dₖ = cₙ₊₁ − c₁ = {(n+1)² − 5(n+1) + 7}·2ⁿ⁺¹ − (1 − 5 + 7)·2 = (n² − 3n + 3)·2ⁿ⁺¹ − 6
答え:チ=⑦(n² − 3n + 3)、ツ=6【4点】
つまずきポイント:(n+1)² − 5(n+1) + 7 = n² − 3n + 3 の展開を焦らず正確に。配点4点と重いので、n = 1 で検算する(左辺 d₁ = −2、右辺 1·4 − 6 = −2 で一致)と安心です。
第5問 統計的な推測〈選択問題〉(配点16点)
正規分布による割合の計算から、母比率の仮説検定(片側検定)までを一連の流れで問う問題です。2025年度から本格化した仮説検定の出題が今年も継続しました。
(1) 正規分布と標準化(ア・イ・配点4点)
問題の要約:資格試験の得点 X が正規分布 N(116, 25²) に従うとき、標準化の式と、合格ライン120点以上の受験者の割合 P(X ≧ 120) を求めます。
解き方: 標準化は Y = (X − 116)/25。このとき Y は標準正規分布 N(0, 1) に従います。
P(X ≧ 120) = P(Y ≧ (120 − 116)/25) = P(Y ≧ 0.16)
正規分布表から P(0 ≦ Y ≦ 0.16) = 0.0636 なので
P(Y ≧ 0.16) = 0.5 − 0.0636 = 0.4364 ≒ 0.44
答え:ア=①((X−116)/25)【2点】、イ=⑤(0.44)【2点】
つまずきポイント:標準化は「(X − 平均)/標準偏差」。分散 25² のまま割らないこと。また表の値は「0からz₀まで」の面積なので、0.5から引く処理を忘れずに。
(2)(i) ベルヌーイ変数の平均と分散(ウ・エ・配点2点)
問題の要約:合格なら1、不合格なら0をとる確率変数 Wᵢ(合格率 p)の平均 E(Wᵢ) と分散 V(Wᵢ) を求めます。
解き方: E(Wᵢ) = 0×(1−p) + 1×p = p
V(Wᵢ) = (0 − p)²(1 − p) + (1 − p)²p = p(1−p){p + (1−p)} = p(1 − p)
答え:ウ=⓪(p)、エ=③(p(1−p))【2点】
つまずきポイント:分散の式は問題文に与えられているので、p(1−p) でくくる因数分解を丁寧に。結果「ベルヌーイ分布の分散 = p(1−p)」は覚えておいて損はありません。
(2)(ii) 標本比率の分布と仮説検定(オ〜ケ・配点8点)
問題の要約:標本平均(=標本比率)W̄ の従う分布を答え、帰無仮説「p = 0.4」・対立仮説「p > 0.4」のもと、400人中184人合格(比率0.46)という結果から有意水準5%で検定します。
解き方: 中心極限定理により、n が十分大きいとき W̄ は近似的に正規分布 N(p, p(1−p)/n) に従います。
帰無仮説 p = 0.4 のもとで、n = 400 のときの W̄ の標準偏差は
√(0.4 × 0.6/400) = √(0.24/400) = √0.24/20 = 2√6/(20×10) = √6/100(≒ 0.0245)
観測された比率は 184/400 = 0.46 なので、√6 = 2.45 を用いて
P(W̄ ≧ 0.46) = P(Z ≧ (0.46 − 0.4)/(√6/100)) = P(Z ≧ 6/2.45) ≒ P(Z ≧ 2.45)
正規分布表より P(Z ≧ 2.45) = 0.5 − 0.4929 = 0.0071
これをパーセント表示すると 0.71% で、有意水準5%より小さいので帰無仮説は棄却されます。したがって「A地域における今年の合格率は0.4より高いと判断できる」が結論です。
答え:オ=⑦(p(1−p)/n)【2点】、カ=②(√6/100)【2点】、キ=②(0.0071)【2点】、ク=①(小さいから、帰無仮説は棄却される)・ケ=⓪(高いと判断できる)【2点※キが正解の場合のみ得点】
つまずきポイント:√0.0006 = √6/100 の処理が第一関門。0.24/400 = 0.0006 とし、0.0006 = 6/10000 と直せば √6/100 が見えます。検定の結論は「確率(p値に相当)が有意水準より小さい → 棄却 → 対立仮説を採択」という3段論法をそのままなぞれば取れます。
(3) 標本サイズが変わると結論は変わるか(コ・サ・配点2点)
問題の要約:100人中46人合格(比率は同じ0.46)の場合に、同じ検定を行うとどうなるかを調べます。
解き方: n = 100 のときの標準偏差は √(0.24/100) = √0.24/10 = 2√6/100(≒ 0.049)。
P(W̄ ≧ 0.46) = P(Z ≧ 0.06 × 100/(2√6)) = P(Z ≧ 3/2.45) ≒ P(Z ≧ 1.22)
正規分布表より P(Z ≧ 1.22) = 0.5 − 0.3888 = 0.1112、すなわち約11.12%。これは有意水準5%より大きいので、帰無仮説は棄却されません。
答え:コ=①(大きい)、サ=①(棄却されない)【2点】
つまずきポイント:比率が同じ0.46でも、標本サイズが小さいとばらつきが大きくなり、結論が変わる——というのがこの問題のメッセージです。n が4分の1になると標準偏差は2倍になり、z値は半分になります。統計の本質を突く良問でした。
第6問 平面ベクトル〈選択問題〉(配点16点)
→MP = a→MA + b→MB + c→MC を満たす点 P が、M の位置によらず定まる条件(a + b + c = 1)を軸に、点 P の存在範囲まで踏み込む問題です。
(1) 具体的な位置の確認(ア・イ・配点4点)
問題の要約:→MP = →MA + 2→MB − →MC …① について、正三角形ABCと正六角形DEFGCA(中心B)の図で、M = A のとき・M = D のときの P の位置を答えます。
解き方:B を原点にとり、A = (1/2, √3/2)、C = (1, 0)、D = (−1/2, √3/2)、E = (−1, 0)、F = (−1/2, −√3/2)、G = (1/2, −√3/2) とします(正六角形の頂点)。
M = A のとき:→AP = →AA + 2→AB − →AC = 2→AB − →AC。 2→AB = (−1, −√3)、→AC = (1/2, −√3/2) なので →AP = (−3/2, −√3/2)。 P = A + →AP = (−1, 0) = E
M = D のとき:→DP = →DA + 2→DB − →DC より P = D + (A − D) + 2(B − D) − (C − D) = A + 2B − C − D = (1/2, √3/2) + (0, 0) − (1, 0) − (−1/2, √3/2) = (0, 0) = B
答え:ア=④(E)【2点】、イ=①(B)【2点】
つまずきポイント:図形のまま矢印をたどってもよいですが、正六角形は座標を置くのが確実です。「M の位置によって P が変わる」ことを実感させる導入で、(2)への伏線です。
(2) P が M によらず定まる条件(ウ〜コ・配点7点)
問題の要約:→MP = a→MA + b→MB + c→MC …② について、A を始点とするベクトルで書き直し、「M がどの位置にあっても P が変わらない」ための必要十分条件を求めます。
解き方: 左辺:→MP = →AP − →AM(ウ)
右辺:→MA = −→AM、→MB = →AB − →AM、→MC = →AC − →AM を代入して
a→MA + b→MB + c→MC = b→AB + c→AC + (−a − b − c)→AM
よって②は →AP − →AM = b→AB + c→AC − (a+b+c)→AM、整理して
→AP = b→AB + c→AC + (1 − a − b − c)→AM
P が M の位置によらず定まる ⇔ →AM の係数が0 ⇔ a + b + c = 1
答え:ウ=②(→AP − →AM)【1点】、エ=①(b)・オ=②(c)・カ=⑦(−a−b−c)【2点】、キ=①(b)・ク=②(c)・ケ=⑨(1−a−b−c)【2点】、コ=⑦(a + b + c = 1)【2点】
つまずきポイント:始点の統一(ここではAに揃える)はベクトルの基本動作です。→MA = −→AM の符号ミスが最も多いポイント。結論の「係数の和が1」は、位置ベクトルの一次結合が点を定める条件として知られる重要な事実です。
(3)(i) a = 1/2 のときの P の存在範囲(サ・配点2点)
問題の要約:a + b + c = 1 かつ a = 1/2 のとき、P の存在範囲を求めます(H, I, J はそれぞれ辺BC, CA, ABの中点)。
解き方:a + b + c = 1 が成り立つので →AP = b→AB + c→AC で、b + c = 1/2。
- b = 1/2、c = 0 のとき P は ABの中点 J
- b = 0、c = 1/2 のとき P は CAの中点 I
一般に →AP = b→AB + c→AC(b + c = 1/2 で b, c は任意の実数)は、J と I を通る直線全体を動きます。(→AP = (1/2){2b→AB + 2c→AC}、2b + 2c = 1 は直線のベクトル方程式。)
答え:サ=④(直線IJ)【2点】
つまずきポイント:「係数の和が一定 ⇔ 直線」という共線条件の応用です。b, c ≧ 0 の限定がないので「線分IJ」ではなく「直線IJ」になる点に注意しましょう。
(3)(ii) c < 0 のときの P の存在範囲(シ・配点3点)
問題の要約:a + b + c = 1 かつ c < 0 のとき、P の存在範囲を図示したものを選びます。
解き方:a + b + c = 1 のもとで →AP = b→AB + c→AC(b は任意の実数、c < 0)。
b→AB の部分は直線AB方向の自由な移動、c→AC の部分は「AC方向に負の量だけ」の移動を表します。つまり P は、直線ABに関して点Cと反対側の領域全体(境界の直線ABは含まない)を動きます。
答え:シ=③(直線ABの、Cと反対側が灰色の図)【3点】
つまずきポイント:斜交座標の考え方です。→AB、→AC を「軸」とみなすと、b が自由・c < 0 は「AC座標が負の半平面」を意味します。係数の符号と領域の対応(c = 0 が直線AB上、c > 0 がC側、c < 0 が反対側)を押さえれば即答できます。
第7問 複素数平面〈選択問題〉(配点16点)
w = z + 1/z(ジュコフスキー変換として知られる変換)で、円が線分や楕円に写ることを調べる問題です。数学Cの「平面上の曲線と複素数平面」を横断する構成になっています。
(1) 具体値の計算(ア〜カ・配点4点)
問題の要約:z = √3 + i のとき |z| と w = z + 1/z を求めます。
解き方: |z| = √(3 + 1) = 2
1/z は分母の実数化(共役を掛ける)で
1/z = (√3 − i)/{(√3 + i)(√3 − i)} = (√3 − i)/4
よって
w = (√3 + √3/4) + (1 − 1/4)i = (5√3/4) + (3/4)i
答え:ア=2【2点】、w = 5√3/4 + (3/4)i(イウエ=5, 3, 4、オカ=3, 4)【2点】
つまずきポイント:1/z = z̄/|z|² を使えば一行で処理できます。計算のみの設問なので確実に。
(2)(i) 極形式による表示(キ〜ケ・配点3点)
問題の要約:z = r(cos θ + i sin θ) のとき w = z + 1/z を r、θ で表し、虚部が θ によらず0になる r を求めます。
解き方: 1/z = (1/r)(cos θ − i sin θ)(ド・モアブルの定理)なので
w = (r + 1/r)cos θ + i (r − 1/r)sin θ
虚部の係数 r − 1/r が0になるのは、r > 0 より r = 1 のときです。
答え:キ=⑥((r + 1/r)cos θ)、ク=⑨((r − 1/r)sin θ)【2点】、ケ=1【1点】
つまずきポイント:1/z の偏角が −θ になる(cos は変わらず sin だけ符号が変わる)ことが核心です。実部と虚部で「+」と「−」が逆になる対称性を意識しましょう。
(2)(ii) r = 1 のとき w が描く図形(コ・配点2点)
問題の要約:r = 1(単位円上を z が動く)のとき、w の描く図形を選びます。
解き方:r = 1 のとき w = 2cos θ + 0·i = 2cos θ。θ が実数全体を動くと 2cos θ は −2 から 2 までのすべての値をとるので、w は実軸上の線分(−2 ≦ x ≦ 2)を描きます。
答え:コ=①(実軸上の −2 から 2 の線分)【2点】
つまずきポイント:「円がつぶれて線分になる」のがこの変換の面白いところです。⓪(−1から1)と間違えないよう、係数2を忘れずに。
(2)(iii) r ≠ 1 のとき:楕円(サ・配点2点)
問題の要約:r ≠ 1 のとき、w = x + yi とおくと x = (r + 1/r)cos θ、y = (r − 1/r)sin θ …② が成り立ちます。θ を消去した x、y の関係式を選びます。
解き方: cos θ = x/(r + 1/r)、sin θ = y/(r − 1/r) として cos²θ + sin²θ = 1 に代入すると
x²/(r + 1/r)² + y²/(r − 1/r)² = 1
これは楕円の方程式です(z が円 C 上を動くとき、w は楕円を描く)。
答え:サ=②【2点】
つまずきポイント:媒介変数表示の楕円は「cos²+sin²=1 で消去」が定石。マイナス(双曲線型)の選択肢に引っかからないように。
(3) w² が描く図形(シ〜セ・配点5点)
問題の要約:r ≠ 1 のとき、w² を z で表し(シ)、z² + 1/z² が描く図形の方程式(ス)を経て、w² が描く図形(セ)を選びます。
解き方: (i) w² = (z + 1/z)² = z² + 1/z² + 2(シ)
(ii) z が半径 r の円上を動くとき、z² は |z²| = r²、偏角 2θ なので半径 r² の円上を動きます(θ が0から2πまで動けば2θは一周以上します)。
したがって z² + 1/z² は、(2)(iii)の結果で r を r² に置き換えた楕円を描きます。z² + 1/z² = X + Yi とおくと
X²/(r² + 1/r²)² + Y²/(r² − 1/r²)² = 1(ス)
(iii) w² = (z² + 1/z²) + 2 なので、この楕円を実軸方向に +2 平行移動した図形が答えです。中心 (2, 0)、長軸は実軸方向(r² + 1/r² > |r² − 1/r²| なので横長)の楕円になります。
答え:シ=③(z² + 1/z² + 2)【1点】、ス=②【2点】、セ=③(中心が (2, 0) の横長の楕円)【2点】
つまずきポイント:(z + 1/z)² の展開で交差項 2·z·(1/z) = 2 が出るのを見落とさないこと。最後は「+2 = 中心の平行移動」に気づけば、選択肢は「中心 2、横長」で一択に絞れます。中心 −2 の図(⓪②④)や縦長の図に惑わされないようにしましょう。
まとめ:2026年度 数学ⅡBCで問われた力
2026年度の数学ⅡBCは、平均点54.52点と、共通テストの数学としては標準的な難易度に落ち着きました。全体を通じて見えてくる出題の特徴は次の3点です。
1. 公式を「導く過程」ごと問う
第2問の和積公式、第4問の階差数列による和の導出のように、結果の暗記ではなく導出の仕組みそのものが誘導になっています。日頃から「なぜこの公式が成り立つか」を確認する学習が直結します。
2. 場合分け・条件の言い換えの重視
第1問の絶対値つき領域、第3問の「面積が等しい ⇔ 定積分が0」、第6問の「係数の和が1」など、条件を数式や図形の言葉に翻訳する力が随所で問われました。
3. 選択問題は「誘導への乗りやすさ」に差
第4問(数列)と第5問(統計)は誘導が丁寧で、定義に沿って進めば得点しやすい構成でした。一方、第6問(ベクトル)の存在範囲、第7問(複素数平面)の w² の図形は、斜交座標や図形の変換のイメージがないと後半で止まりやすい内容です。
選択科目の選び方への示唆
- 統計的な推測(第5問)は、正規分布表の使い方と検定の型(仮説設定 → 確率計算 → 有意水準と比較)を身につければ安定して得点できる傾向が続いています。学校で数学Bの統計を履修しているなら有力な選択肢です。
- 数列(第4問)・ベクトル(第6問)は誘導の読解力がそのまま得点に直結します。過去問で「誘導の意図を言葉にする」練習を積みましょう。
- 複素数平面(第7問)は極形式・ド・モアブルの定理の運用が前提です。数学Cを深く学習している理系受験生には、計算量の面でむしろ狙い目になる年もあります。
- 本番で慌てないために、選択する3問はあらかじめ決めておき、4問目は保険として一応目を通せる程度にしておくのが現実的です。
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